Question

用二项式定理证明：（1）2n+2?3n+5n-4（n∈N*）能被25整除；（2）（23）n-1＜2n+1（n∈N*，且n≥3）

用二项式定理证明：（1）2n+2?3n+5n-4（n∈N*）能被25整除；（2）（23）n-1＜2n+1（n∈N*，且n≥3）．

Answer 1

（1）2ⁿ⁺²?3ⁿ+5n-4=4×6ⁿ+5n-4=4×（1+5）ⁿ+5n-4 
=4×[1+

C

1 n

×5+

C

2 n

×5²+…+

C

5 n

×5ⁿ]+5n-4=25n+

C

2 n

×5²+…+

C

5 n

×5ⁿ]，显然能被25整除．
（2）∵(

3

2

)n?1=(1+

1

2

)n?1=1+（n-1）×

1

2

+

C

2 n?1

×(

1

2

)2+…+(

1

2

)n?1＞1+（n-1）×

1

2

=

n+1

2

，
∴（

2

3

）^n-1＜

2

n+1

（n∈N^*，且n≥3）．