Question

如图：在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G，交AB于E，EF⊥BC于F．求证：四边形AEFG

如图：在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G，交AB于E，EF⊥BC于F．求证：四边形AEFG是菱形．

Answer 1

证明：证法一：∵AD⊥BC， ∴∠ADB=90°， ∵∠BAC=90°， ∴∠B+∠BAD=90°，∠BAD+∠CAD=90°， ∴∠B=∠CAD， ∵CE平分∠ACB，EF⊥BC，∠BAC=90°（EA⊥CA）， ∴AE=EF（角平分线上的点到角两边的距离相等）， ∵CE=CE， ∴由勾股定理得：AC=CF， ∵△ACG和△FCG中 AC=CF ∠ACG=∠FCG CG=CG ， ∴△ACG≌△FCG， ∴∠CAD=∠CFG， ∵∠B=∠CAD， ∴∠B=∠CFG， ∴GF ∥ AB， ∵AD⊥BC，EF⊥BC， ∴AD ∥ EF， 即AG ∥ EF，AE ∥ GF， ∴四边形AEFG是平行四边形， ∵AE=EF， ∴平行四边形AEFG是菱形． 证法二：∵AD⊥BC，∠CAB=90°，EF⊥BC，CE平分∠ACB， ∴AD ∥ EF，∠4=∠5，AE=EF， ∵∠1=180°-90°-∠4，∠2=180°-90°-∠5， ∴∠1=∠2， ∵AD ∥ EF， ∴∠2=∠3， ∴∠1=∠3， ∴AG=AE， ∵AE=EF， ∴AG=EF， ∵AG ∥ EF， ∴四边形AGFE是平行四边形， ∵AE=EF， ∴平行四边形AGFE是菱形．