Question

在△ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，AB?AC＝8，∠BAC=θ，a=4．（1）求bc的最大值； （2）求

在△ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，AB?AC＝8，∠BAC=θ，a=4．（1）求bc的最大值； （2）求函数f(θ)＝3sin2θ+cos2θ?1的值域．

Answer 1

（1）∵

AB

?

AC

=bc?cosθ=8，
由余弦定理可得16=b²+c²-2bc?cosθ=b²+c²-16，
∴b²+c²=32，又b²+c²≥2bc，
∴bc≤16，即bc的最大值为16，
当且仅当b=c=4，θ=

π

3

时取得最大值；
（2）结合（1）得，

8

cosθ

=bc≤16，∴cosθ≥

1

2

，
又0＜θ＜π，∴0＜θ≤

π

3

，
∴f(θ)＝

3

sin2θ+cos2θ?1=2sin（2θ+

π

6

）-1
∵0＜θ≤

π

3

，∴

π

6

＜2θ+

π

6

≤

5

6

π，∴

1

2

≤sin（2θ+

π

6

）≤1，
当2θ+

π

6

=

5

6

π，即θ=

π

3

时，f（θ）_min=2×

1

2

?1＝0，
当2θ+

π

6

=

π

2

，即θ=

π

6

时，f（θ）_max=2×1-1=1，
∴函数f（θ）的值域为[0，1]