Question

已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8，点D在斜边AB上，分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F

已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8，点D在斜边AB上，分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，得四边形DECF，设DE=x，DF=y．（1）含y的代数式表示AE；（2）y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围；（3）设四边形DECF的面积为S，x在什么范围时s随x增大而增大．x在什么范围时s随x增大而减小，并画出s与x图象；（4）求出x为何值时，面积s最大．

Answer 1

（1）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴四边形DECF为矩形，
∵DE=x，DF=y，
∴DF=EC=y，
∵AC=8，
∴AE=8-y；

（2）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，DE⊥AC，DF⊥BC，BC=4，AC=8，
∴△DBF∽△ABC，
∴

DF

AC

＝

BF

BC

，
∴

y

8

＝

4?x

4

，
∴y=8-2x（0＜x＜4）；

（3）∵矩形DECF，
∴S=xy=x（8-2x）=-2x²+8x；
∴顶点坐标（2，8），与x轴的交点为（0，0），（4，0），
∴当0＜x≤2时，S随x的增大而增大；
  当2≤x＜4时，S随x的增大而减小，
∴函数图象为

（4）∵由（3）的结论可知：x=-

b

2a

=2，
∴当x=2时，面积S的值最大．