Question

求一 奥数 数论问题 ，急急急

所有3的方幂以及互不相等的3的方幂的和排成一个递增的数列：1，3，4，9，10，12，13，……，求这列数的第101项。

Answer 1

【解】
记数列a[n]=3^(n-1)，n项中，任意取k项的和两两不相等（1<k<=n）
所以共有C[n,n]+C[n,n-1]+C[n,n-2]+……+C[n,2]=(2^n)-n-1项和
且S[n]=(3^n-1)/2 < a[n+1]
则该数列到a[n+1]为止有：2^n项
到a[7]为止有2^6=64项；到a[8]为止有2^7=128项；
2^6<101<2^7，所以101项在a[7]与a[8]之间。

101=2^6+2^5+2^2+2^0
第101项＝a[7]+a[6]+a[3]+a[1]=3^6+3^5+3^2+3^0=729+243+9+1=982。

Answer 2

这个数列用3进制表示为
1　10　11　100。。。。。由于每个位只能为0与1,所以表面上看是2进制数码。
101二进制＝1100101
表示的3进制的值为：3^6+3^5+3^2+1--------这才是答案

Answer 3

可以把3的次方换成3进制试一试。

Answer 4

所有3的方幂以及互不相等的3的方幂的和排成一个递增的数列：1，3，4，9，10，12，13，……，求这列数的第101项
解：
题目转化：[利用三进制]
由0,1组成的数字串，视为三进制数并按由小到大排序，求序列的101项。
解题过程：
易知：由小到大排序得到的序号就是视数字串为二进制时的数值。
101转化为二进制数：
101=1100101
(转化方法参见：http://hi.baidu.com/wsktuuytyh/blog/item/ca67db08df00e33ce92488eb.html
这里利用到序列101,50,25,12,6,3,1）
然后视为三进制数，其值为：
(1100101)_3=3^0+3^2+3^5+3^6=1+9+243+729=982
注：(1100101)₃
此即所求。

推广：
而事实上由0,1组成的序列无论视为何种进制，即各位数字赋予任意正整数的幂次作为权值，其由小到大排序得到的序号就是视数字串为二进制时的数值。

如改一下题目：
所有n的方幂以及互不相等的n的方幂的和排成一个递增的数列,求这列数的第m项
解：
将m表成二制制数串，再视数串为n进制求得数值，即为所求。