Question

求这个不定积分

Answer 1

令x=tanu/2, 则√(x²+1/4)=(1/2)secu, dx=(1/2)sec²udu
∴∫ √(x²+1/4) dx
=∫(1/2)secu*(1/2)sec²udu
=(1/4)∫ sec³udu
其中∫ sec³udu
=∫secud(tanu)
=tanusecu-∫tanud(secu)
=tanusecu-∫tan²usecudu
=tanusecu-∫(sec²u-1)secudu
=tanusecu-∫sec³udu+∫secudu
=tanusecu+ln|tanu+secu|-∫sec³udu
∴∫sec³udu
=(1/2)(tanusecu+ln|tanu+secu|)+C
∴∫ √(x²+1/4) dx
=(1/4)∫ sec³udu
=(1/8)(tanusecu+ln|tanu+secu|)+C
=(1/8)[2x√(4x²＋1)+ln|2x+√(4x²+1)|]+C

追问

谢谢其实我想问的是这个，这一步我看不懂

是不是说有公式可以去套？但我在基本表里查不到

追答

这个只能换元
令t=√x-1/2,然后得到
原积分=∫ √(t²+1/4) dt, 用上述方法求解积分
注意定积分的积分限随之变化x: 0→1, 则t: -1/2→1/2
然后将新的积分上下限分别代入不定积分结果即可求解