Question

定义在R上的偶函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，若① f(2a²＋a＋1)＜f(3a²－2a＋1)

②f(a-1)＜f(3-2a)③f(a-1)＜f(a²+a+1）则a的取值范围分别为多少？希望写出详细过程，谢谢侬。

Answer 1

因为f(x) 在R上的偶函数，且f(x)在(－∞，0)上单调递减；所以f(x)在[0,+∞)上单调递增。
对于：① f(2a²＋a＋1)＜f(3a²－2a＋1)，可得：｜2a²＋a＋1｜<｜3a²－2a＋1｜;
又因为对于任意实数a, 函数：f(a)=2a²＋a＋1 的delta= -5<0 ，所以表达式2a²＋a＋1>0
同理，表达式3a²－2a＋1 >0; 因为：f(x)在[0,+∞)上单调递增
故可得不等式2a²＋a＋1<3a²－2a＋1,
解本式得：a>0或a<-3
对于: ②f(a-1)＜f(3-2a)可得｜a-1｜<｜3-2a｜即：3-2a>a-1或3-2a<-a+1解本式可得：
a<4/3 或 a>2.
对于：③f(a-1)＜f(a²+a+1）可得：｜a-1｜＜｜a²+a+1｜。
又因为对于任意实数a, 函数：f(a)=a²+a+1的delta= -3<0, 所以表达式 a²＋a＋1>0.
所以：｜a-1｜＜｜a²+a+1｜可解为：-(a²+a+1)<a-1＜a²+a+1
即：a²＋2>0 且a(a+2)<0
对于任意实数a, a²＋2>0恒成立; 解不等式a(a+2)<0得: -2<a<0。