Question

等边三角形ABC中，D为AB中点，E为BC上一点，以DE为边作等边三角形DEF，连接CF，AF。 【1】求证：FE=FC

右上角的点是F,大等边是ABC,小等边是DEF，画图有些仓促，凑活看，谢谢

Answer 1

证明：如图，连接CD，
∵D为AB中点，
∴CD平分∠ACB，∠DCE=1/2∠ACB=30°，

作FG⊥DE于G，则FG为DE垂直平分线，
∴∠DCE=30°=1/2∠DFE，

∴F为△CDE外接圆圆心，
∴FE=FC；

供参考

Answer 2

连接CD，得△CDE。

在等边△ABC中，因为D为AB中点，所以CD平分∠ACB。∠DCE = ∠ACB/2 = 30°

过F，做FG垂直DE于G。

在等边△DEF中，因为FG垂直DE，因此FG为DE垂直平分线。

因为 F在DE垂直平分线上 且 ∠DCE = 30° = ∠DFE/2，所以F为CDE外接圆圆心。

(1. 同弦圆心角 = 圆周角的两倍  2. 外心为垂直平分线交点)

因为FE & FC 为圆F的半径，所以 FE = FC