Question

知函数fx=x3次方-6ax^2+b在区间【-1，2】上的最大值是3最小值为-29求ab的值

Answer 1

f(x)=x³-6ax²+b
f'(x)=3x²-12ax
f''(x)=6x-12a ①
f'(x)=0,即x(3x-12a)=0,0∈[-1,2]
∴必存在一极值点 x=0
当-1/4≤a≤1/2
还存在另一极值点：x₂=4a
只有一极值点时：
由①知 f''(0)=-12a，a<-1/4时为极小值，a>1/2时为极大值
f(-1)=-1-6a+b
f(2)=8-24a+b
f(2)-f(-1)=9-18a
∴a<-1/4时，f(0)=b是最小值=-29→b=-29
f(2)是最大值=-24a-21=3 a=-1，与设定不符；
同理，a>1/2时，f(0)=b是最大值=3→b=3
f(-1)=-6a+2为最小值=-29 a=31/6
两个极值点时，-1/4≤a≤0
由①知 f''(0)=-12a>0,f(0)为极小值，f''(4a)=12a<0为极大值
f(2)=8-24a+b>b=f(0)→f(0)是最小值=-29 b=-29

f(4a)=-32a³+b<f(-1)=-1-6a-29是最大值=3，a=-5.5，与设定不符；
0≤a≤1/2

由①知 f''(0)=-12a<0,f(0)为极大值，f''(4a)=12a>0为极小值
0≤a≤1/3
f(2)=8-24a+b>b=f(0)→f(2)是最大值=3 8-24a+b=-29
f(4a)=-32a³+b<f(-1)=-1-6a+b是最小值=-29，解得32a³-24a=-8，在0≤a≤1/3无解；
1/3<a≤1/2
f(2)=8-24a+b<b=f(0)→f(0)是最大值=3 b=3
f(-1)=-1-6a+b≤-32a³+b=f(4a)是最小值 -1-6a+3=-29 a=31/6>1/2,与设定不符；
∴a=31/6，b=3