Question

利普希兹条件为什么不是保证初值问题解惟一的必要条件

Answer 1

在常微分方程的解存在唯一的问题中，有一个充分条件：
1.f(x，y)总在某矩形区域内连续，2.f(x，y)对y满足Lipschitz条件
在上述两个条件下，微分方程的解存在唯一.
在你提的问题中，如果我们先假定f(x，y)总在某矩形区域内连续，那么：
李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的(充分)条件
事实上，f（x，y）对y的偏导连续，就意味着f（x，y）对y的偏导有界，按照拉格朗日中值定理，可以得到李普希兹条件，也就是说f（x，y）对y的偏导连续是李普希兹条件的(充分)条件
关系是这样的：f（x，y）对y的偏导连续→李普希兹条件→一阶微分方程初值问题解惟一
在数学中，特别是实分析，利普希茨连续（Lipschitzcontinuity）以德国罩扒数学家鲁道夫_利普希茨命名，是一个比通常连续更强的光滑性条件。直觉上，利普希茨连续函数限制了函数改变的速度，符合利普希茨条件的函数的斜率，必小于一个称为利普希茨常数的实数（该常数依函数而定）。
对于利普希茨连续函数，存在一个双圆锥(绿色)其顶点可以沿着曲线平移，使得曲线总是完全在这个圆锥内。对于在实数集的子集的函数，若存在常数K，使得，则称f符合利普希茨条件，对于f最小的历尺常数K称为f的利普希茨常数。
若K<1，f称为收缩映射。
利普希茨条件也可对任意度量空间的函数定义：
给定两个度量空间(M，dM)，(N，dN)，。若对于函数，存在常数K使得
若存在使得
则称f为bi-Lipschitz的。
皮卡-林德洛夫定理
若已知y(t)有界，f符合利普希茨条件，则微肢闷高分方程初值问题刚好有一个解。
在应用上，t通常属于一有界闭区间（如[0，2π]）。于是y(t)必有界，故y有唯一解。
例子
符合利普希茨条件，K=14。
不符合利普希茨条件，当。
定义在所有实数值的符合利普希茨条件，K=1。
f(x)=|x|符合利普希茨条件，K=1。由此可见符合利普希茨条件的函数未必可微。
不符利普希茨条件，。不过，它符合赫尔德条件。
当且仅当处处可微函数f的一次导函数有界，f符利普希茨条件。这是中值定理的结果。所有C1函数都是局部利普希茨的，因为局部紧致空间的连续函数必定有界。
在微分方程，利普希茨连续是皮卡-林德洛夫定理中确保了初值问题存在唯一解的核心条件。一种特殊的利普希茨连续，称为压缩应用于巴拿赫不动点定理。
利普希茨连续可以定义在度量空间上以及赋范向量空间上；利普希茨连续的一种推广称为赫尔德连续。

Answer 2

在常微分方程的解存在唯一的问题中,有一个充分条件：
1.f(x,y)总在某矩形区域内连续,2.f(x,y)对y满足Lipschitz条件
在上述两个条件下,微分方程的解存在唯一.
在你提的问题中,如果我们先假定f(x,y)总在某矩形区域内连续,那么：
李普希兹条件乱晌是保证一阶微分方程初值问题解惟一的(充分 )条件
事实上,f（x,y）对y的如竖偏导连续,就意味着f（x,y）对y的偏导有界,按照拉格朗日中值定理,可以得到李普希兹条件,也就是说f（x,y）对y的偏导连续是李普希兹条件的(充分 )条件渣陪大
关系是这样的：f（x,y）对y的偏导连续→李普希兹条件→ 一阶微分方程初值问题解惟一。