Question

求证一元多项式带余除法定理

对于任意给定的两个多项式f（x），g（x）（g（x）不为零多项式），则f（x）=q（x）*g（x）+r（x），r（x）的次数低于g（x）的次数
求证：q（x）与r（x）存在且唯一
设f(x)和g(x)分别为m.n次多项式
f(x) = amx^m + …… + a1x + a0
g(x) = bnx^n + …… + b1x + b0
若m<n，则令q(x)=0，r(x)=f(x)，满足要求
下面证m≥n的情况。假设当m<k时的情况已证，现在看m=k的情形
记f1(x) = f(x) - (am/bn)n^(m-n)g(x)
则f1(x)的次数小于m
由归纳假设，存在q1(x)和r1(x)，使得
f1(x) = q1(x)g(x) + r1(x)，其中r1(x)次数小于g(x)次数
所以f(x) = (q1(x) + (am/bn)n^(m-n))g(x) + r1(x)
令q(x) = q1(x) + (am/bn)n^(m-n)，r(x) = r1(x)
则m=k时结论也成立
所以存在性就证出来了
其中假设当m<k时的情况已证是什么意思

Answer 1

这是用的数学归纳法：http://baike.baidu.com/view/284458.html?wtp=tt