Question

一道初二数学题，高手请进！

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，点F在DE上，并且AF=CE.
⑴求证：四边形ACEF是平行四边形；
⑵求∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？证明你的结论.
⑶四边形ACEF有可能是正方形吗？为什么？
图：

Answer 1

（1）证明：因为DE垂直平分BC,所以DE‖AC,
所以E为AB中点（过一边中点平行以另一边的直线必经过第三边的中点）
所以AE=BE,
又因BE=CE（垂直平分线上的点导线短两端的距离相等），AF=CE,
所以AF=AE=CE,,所以∠F=∠AEF,∠CAE=∠ACE,所以∠EAF=∠AEC,
所以AF‖CE,所以四边形ACEF是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）
（2）满足∠B=30度。证明如下：
因为∠B=30度，所以∠BAC=60度
又因AE=CE,所以△ACE为等边三角形（有一个角为60度的等腰三角形是等边三角形）
所以AC=CE,所以四边形ACEF是菱形（一组邻边相等的平行四边形为菱形）
（3）不可能.因为当四边形ACEF是正方形时，∠ACE=90度，此时E在BC上，与原意不符，所以四边形ACEF不可能是正方形

Answer 2

(1)证明：
∵DE是BC的垂直平分线
∴D是BC的中点
∵∠ACB = 90°
∴DE//AC
∴∠F + ∠FAC = 180°
∴E是AB的中点
∴∠FEA = ∠EAC
∵AE = EC
∴∠EAC = ∠ECA
∴∠FEA = ∠ECA
∵AF = EC
∴AF = AE
∴∠F = ∠AEF
∴∠F = ∠ECA
∴∠ECA + ∠FAC = 180°
∴AF//EC
∵FE//AC
∴四边形AFEC是平行四边形

(2)解，∠B = 30°

∵四边形ACEF是菱形
∴AF = EF
∵AF = AE
∴△AEF是等边三角形
∴∠F = 60°
∵∠F = ∠ECA = 60°
∠B = ∠ECB，∠ECB + ∠ECA = 90°
∴∠B = 90°-∠F = 30°

(3)
若四边形ACEF是正方形
则∠F = ∠ACE = 90°
∵∠ACE + ∠ECB = 90°
∴不可能是正方形