Question

A为不可逆矩阵，AX=0有非零解的证明

Answer 1

必要性：假设|A|不为0,则n阶矩阵A可逆,AX=0两边同时左乘A逆得X=0,即说明X只有0解,与条件矛盾,故|A|=0充分性：将A写成列向量的形式,A=[a1,a2,.an],其中ai为A的第i列,同时X也写成向量形式,X=[x1,x2,...xn]T 则AX=0可表示成x1a1+x2a2+.xnan=0因为|A|=0,所以A的秩小于n,所以A的列向量线性相关,故存在不全为0的一组数 x1,x2,.,xn,使得x1a1+x2a2+.xnan=0所以AX=0有非零解