Question

大学数学线性代数与解析几何

请教证明过程，谢谢！

Answer 1

必要性。
若a1...an与b1...bn等价，则它们可以互相线性表示。
任取x 从LA, 则x可由a1...an线性表示。既然a1...an均可由b1...bn线性表示，所以x也可由b1...bn线性表示，所以x也属于LB。所以LA包含于LB。
同理可证，若x属于LB，则x也属于LA。所以LB包含于LA。
既然LA与LB互为子集，LA=LB。

充分性。
若LA=LB，则，任取x于LA，x也属于LB。
既然a1...an属于LA，则a1...an也属于LB。
既然a1...an属于LB，每一个ai均可由b1...bn线性表示，所以向量组A可由B线性表示。
同理可证向量组B也可由A线性表示。
所以A与B等价。