Question

绝对值不等式是怎么解的？ |x-3|-|x+1|<1

绝对值不等式是怎么解的？
|x-3|-|x+1|<1

Answer 1

根据绝对值的数字与0比较，分三个情况进行讨论

1° 若x≥3，则x-3≥0，x+1＞0
∴ l x-3 l= x-3，l x+1 l= x+1
原不等式化简为 （x-3）-（x+1）＜ 1
-4＜1
上述不等式为恒成立的不等式
∴ x≥3是原不等式的解。

2° 若-1≤x＜3，则x-3＜0，x+1≥0
∴ l x-3 l= 3-x，l x+1 l= x+1
原不等式化简为 （3-x）-（x+1）＜ 1
-2x+2＜1
-2x＜ -1
∴ x＞ 1/2
考虑-1≤x＜3的条件，得1/2＜x＜3是原不等式的解。

3° 若x＜ -1，则x-3＜0，x+1＜0
∴ l x-3 l= 3-x，l x+1 l= -1-x
原不等式化简为 （3-x）-（-1-x）＜ 1
4＜1
上述不等式为恒不成立的不等式，故在该条件下不等式无解。

综上，得原不等式的解是 x＞1/2

Answer 2

根据绝对值的数字与0比较，分三个情况进行讨论

1° 若x≥3，则x-3≥0，x+1＞0
∴ l x-3 l= x-3，l x+1 l= x+1
原不等式化简为 （x-3）-（x+1）＜ 1
-4＜1
上述不等式为恒成立的不等式
∴ x≥3是原不等式的解。

2° 若-1≤x＜3，则x-3＜0，x+1≥0
∴ l x-3 l= 3-x，l x+1 l= x+1
原不等式化简为 （3-x）-（x+1）＜ 1
-2x+2＜1
-2x＜ -1
∴ x＞ 1/2
考虑-1≤x＜3的条件，得1/2＜x＜3是原不等式的解。

3° 若x＜ -1，则x-3＜0，x+1＜0
∴ l x-3 l= 3-x，l x+1 l= -1-x
原不等式化简为 （3-x）-（-1-x）＜ 1
4＜1
上述不等式为恒不成立的不等式，故在该条件下不等式无解。

综上，得原不等式的解是 x＞1/2

希望你能采纳，不懂可追问。谢谢。

Answer 3

这个只能分区间讨论了。
1、x<-1
2、-1≤x≤3
3、x>3
分三次求解，分别解出的结果和讨论区间求交集；最后将三次的结果求并集。