Question

1.设A，B为n阶方阵，证若λ=0为A的一个特征值，则λ=0也是BA的一个特征值 2.设A为n阶方

1.设A，B为n阶方阵，证若λ=0为A的一个特征值，则λ=0也是BA的一个特征值
2.设A为n阶方阵且它的每一列元素之和都等于一个固定的常数δ，证明δ为A的一个特征值

Answer 1

1. A奇异 => BA奇异
   

2. A和A^T的特征值相同，A^T有一个特征值是δ，相应的特征向量是[1,1,...,1]^T
   

Answer 2

1、设A对应于特征值0的特征向量是x，则Ax=0，所以BAx=0，所以0也是BA的特征值，对应的特征向量还是x。
2、A的转置A'的每一行的元素之和等于δ，所以A'x=δx，x=(1,1,...,1)'。所以δ是A'的特征值，所以|A'-δE|=0，转置后是|A-δE|=0，所以δ是A的特征值。

追问

为什么A'的每一行的元素之和等于δ所以A'x=δx

追答

A的每一列的元素之和是δ，转置后，不就是A'的每一行元素和是δ。

追问

我问为什么A'x=δx

追答

A'x的作用就是把A的每一行元素加起来，x的每个元素都是1。