Question

高数y=f(x)在点a处有极限是y=f(x)在点a处连续的必要条件 不是可导必连续 连续不一定

高数y=f(x)在点a处有极限是y=f(x)在点a处连续的必要条件 不是可导必连续 连续不一定可导吗 为什么不是充分不必要

Answer 1

函数在某一点有极限不一定连续,连续不一定可导；可导一定连续，连续一定有极限且极限值等于函数值。

设g(a)=0

lim[x→a]

[f(x)-f(a)]/(x-a)

=lim[x→a]

[f(x)g(x)-f(a)g(a)]/(x-a)

=lim[x→a]

f(x)g(x)/(x-a)

=lim[x→a]f(x)*lim[x→a]

g(x)/(x-a)

=f(a)lim[x→a]

[g(x)-g(a)]/(x-a)

=f(a)g'(a)

因此f(x)g(x)在x=a可导

导数

对于可导的函数f(x)，x↦f'(x)也是一个函数，称作f(x)的导函数（简称导数）。寻找已知的函数在某点的导数或其导函数的过程称为求导。实质上，求导就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则也来源于极限的四则运算法则。反之，已知导函数也可以反过来求原来的函数，即不定积分。

Answer 2

函数在某一点有极限不一定连续,连续不一定可导；可导一定连续,连续一定有极限且极限值等于函数值.