Question

怎么证明两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数

Answer 1

f(x)，g(x)都是偶函数就可得出f(-x)=f(x),   g(-x)=g(x) 两个偶函数相加f(x)+g(x)令为F(x) 则F(-x)=f(-x)+g(-x) =f(x)+g(x) =F(x) ， 即  F(-x)=F(x)，   说明F(x)还是偶函数，即：两个偶函数相加任为偶函数。

f(x)，g(x)都是奇函数就可得出f(-x)=-f(x),   g(-x)=-g(x)两个偶函数相加f(x)+g(x)令为F(x)则F(-x)=f(-x)+g(-x) =-f(x)-g(x) =-【f(x)+g(x)】=-F(x) ， 即  F(-x)=-F(x)。  

说明F(x)还是奇函数，即:两个奇函数相加任为奇函数。

奇函数在其对称区间[a,b]和[-b，-a]上具有相同的单调性，即已知是奇函数，它在区间[a,b]上是增函数（减函数），则在区间[-b，-a]上也是增函数（减函数）。

偶函数在其对称区间[a,b]和[-b，-a]上具有相反的单调性，即已知是偶函数且在区间[a,b]上是增函数（减函数），则在区间[-b，-a]上是减函数（增函数）。但由单调性不能倒导其奇偶性。验证奇偶性的前提要求函数的定义域必须关于原点对称。

扩展资料：

偶函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)称为偶函数。

奇函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)称为奇函数。

定理奇函数的图像关于原点成中心对称图表，偶函数的图象关于y轴成轴对称图形。

f(x)为奇函数《==》f(x)的图像关于原点对称

点（x，y）→（-x，-y）

奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。

偶函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减。

参考资料：百度百科——函数奇偶性

Answer 2

1. f(x)，g(x)都是偶函数就可得出f(-x)=f(x),   g(-x)=g(x)
   两个偶函数相加f(x)+g(x)令为F(x)
   则F(-x)=f(-x)+g(-x) =f(x)+g(x) =F(x) ， 即  F(-x)=F(x)，   说明F(x)还是偶函数，
   即    ：两个偶函数相加任为偶函数

2. f(x)，g(x)都是奇函数就可得出f(-x)=-f(x),   g(-x)=-g(x)
   两个偶函数相加f(x)+g(x)令为F(x)
   则F(-x)=f(-x)+g(-x) =-f(x)-g(x) =-【f(x)+g(x)】=-F(x) ， 即  F(-x)=-F(x)，  

   说明F(x)还是奇函数，
   即    ：两个奇函数相加任为奇函数

Answer 3

证明：1）设f(x)，g(x)都是偶函数，
则有f(-x)=f(x),g(-x)=g(x)
令f(x)=f(x)+g(x)
则f(-x)=f(-x)+g(-x)
=f(x)+g(x)
=f(x)
所以：两个偶函数相加所得的和为偶函数
2）设f(x)，g(x)都是奇函数，
则有f(-x)=-f(x),g(-x)=-g(x)
令f(x)=f(x)+g(x)
则f(-x)=f(-x)+g(-x)
=-f(x)-g(x)
=-[f(x)+g(x)]
=-f(x)
所以：两个奇函数相加所得的和为奇函数

Answer 4

1、巳知f(x)，g(x)都是偶函数，求证p(x)=f(x)+g(x)是偶函数
证明：因为：f(x)，g(x)都是偶函数
所以：f(-x)=f(x),g(-x)=g(x)
所以：p(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=p(x)
所以：p(x)是偶函数

2、巳知f(x)，g(x)都是奇函数，求证p(x)=f(x)+g(x)是奇函数
证明：因为：f(x)，g(x)都是奇函数
所以：f(-x)=-f(x),g(-x)=-g(x)
所以：p(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)+-g(x)=-p(x)
所以：p(x)是奇函数

Answer 5

您好

设f(x),g(x)为偶函数,m(x),n(x)为奇函数
则f(-x)=f(x),g(-x)=g(x),m(-x)=-m(x),n(-x)=-n(x)
那么f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x),所以f(x)+g(x)是偶函数；m(-x)+n(-x)=-(m(x)+n(x)),所以m(x)+n(x)是奇函数.

希望对你有帮助