Question

设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)方程f(x)-x=0的两跟为x1,x2

设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)方程f(x)-x=0的两跟为x1,x2,满足0〈x1<x2<1/a
(1)当0<x<x1时，证明x<f(X)<x1
(2)设f(x）的图象关于直线x=xo对称，证明xo<x1/2

Answer 1

令g(x)=f(x)-x
f(x)-x=0的两跟为x1,x2
g（x）=a(x-x1)(x-x2)
x∈(0,x1) 由于x1<x2,那么（x-x1）(x-x2)>0
又a>0 所以g（x）=f(x)-x=a(x-x1)(x-x2)>0
g(x)>0
即x<f(x)
x1-f(x)=x1-[x+g(x)]=x1-x-a(x-x1)(x-x2)=(x1-x)[1+a(x-x2)]
因为0<x<x1<x2<1/a
所以x1-x>0 1+a(x-x2)=1+ax-ax2>1-ax2>0
x1-f(x)>0
x1<f(x)
综上x<f(x)<x1
2）根据题意知 x0=-b/2a ,因为x1，x2是方程f(x)-x=0的根
即x1，x2是方程ax^2+(b-1)x+c=0的根
所以
x1+x2=-(b-1)/a x0=-b/2a

x1/2-x0=(x1+x2)/2-x0-x2/2=(1-b)/2a+b/2a-x2/2=(1-ax2)/2a

根据题设 x2<1/a ,a>0 得到ax2<1 所以（1-ax2）/2a>0
x1/2-x0>0
x0<x1/2

Answer 2

唉,这种问题该去问老师嘛,三年前我估计还想看看,现在一点都不感冒了。