Question

余式定理中余项为什么一定是常数?给严密的逻辑

Answer 1

证明：
根据整式除法可知，对于多项式：f(x)
必定存在因式(x-a)，使得下式成立：
f(x) = (x-a)·Q(x) + R(x)
其中，Q(x)称之为该整式的商式，R(x)是该整式的余式
显然，根据定义可知：
R(x)中含有x的次数是低于（x-a）的，否则，R(x)还可以被(x-a)除
又因为：(x-a)是一次式，
因此：R(x)只能是关于x的零次式，即：R(x)=C，其中C是常数
将x=a带入原式中：
f(a)=(a-a)·Q(a)+C
于是：
f(a)=C
因此：
f(x) = (x-a)·Q(x) + f(a)
证毕！