Question

数列{an}通项公式为an=(-1)^[(n+1)(n+2)/2](n∈N*)，数列{bn}通项公式为bn=√2cos[(2n+3)∏/4](n∈N*)

求证{an},{bn}为同一数列

Answer 1

那个看不到的东西是π吧
∵显然{bn}数列会是个周期函数
∴{an}也必须是个周期函数
先看{bn}
∵y=cos x 的周期是2π
∴cos[(2n+3)π/4]=cos[(2n+3)π/4+2π]=cos[(2n+3+8)π/4]=cos{[2(n+4)+3]π/4}
∴bn=b(n+4)
∴{bn}的周期是4
b1=-1,b2=1,b3=1,b4=-1
于是看an，显然an=1或-1
决定正负号的是 (n+1)(n+2)/2 的奇偶性，即能否被2整除
也就是 (n+1)(n+2) 能否被4整除
显然 [(n+4)+1][(n+4)+2]=[(n+1)+4][(n+2)+4]=(n+1)(n+2)+4(n+1)+4(n+2)+16
当中，4(n+1)+4(n+2)+16是4的倍数
∴[(n+4)+1][(n+4)+2]与 (n+1)(n+2) 被4除的余数一样
∴an是周期为4的数列
∵a1=-1,a2=1,a3=1,a4=-1
∴{an},{bn}为同一数列