Question

椭圆这道题第二问，数学，高中，奥数，算法，20题第2问

Answer 1

(I)略，答案：e=1/2.
(II)由(I)知： b ^2=3c^2, a^2=4c^2,设椭圆方程为：x^2/4+y^2/3=c^2
M(c,y1),N(c,y2) ,y1>y2, M,N在椭圆上===>c^2/4+y^2/3=c^2===>y1=9/4*c^2===>y1=3c/2
y2=-3c/2.所以 M(c,3c/2), N(c,-3c/2).
根据题意，设P(x0,y0),则 x0<>c,且x0<>-c, x0^2/4+y0^2/3=c^2===>y0^2=3c^2-3x0^2/4===>y0^2-9c^2/4=3(c^2-x0^2)/4
kPM=(3c/2-y0)/(c-x0) kPN=(-3c/2-y0)/(c-x0)
所以 ｜1/kPM-1/kPN|=3c|(c-x0)/(y0^2-9c^2/4)|=4c/|c+x0|
x0<>c,且x0<>-c, 由 -a<=x0<=a===>0<|c+x0|<=a+c===>1/|c+x0|>=1/(a+c)
所以 ｜1/kPM-1/kPN|>=4c/(a+c)=4c/3c=4/3.
即 当P为右顶点（a,0)时，｜1/kPM-1/kPN|取得最小值：4/3.