Question

设函数f(x)=ax^2 bx,g(x)=lnx h(x)=f(x)-g(x) 若a+b=0试讨

h(x)零点个数

Answer 1

f(x)=ax²+bx g(x)=lnx
h(x)=f(x)-g(x)=ax²-ax-lnx
定义域x>0
h'(x)=2ax-a-1/x=(2ax²-ax-1)/x
-8≤a≤0时，h'(x)≤0,h(x)单调递减,有一个零点x=1
a<-8
驻点：x₁=(a+√a²+8a)/4a<1/4为极小值点，x₂=(a-√a²+8a)/4a<1/2为极大值点
∴h(x₁)=a[(a+√a²+8a)/4a]²-a(a+√a²+8a)/4a-ln(a+√a²+8a)/4a 关于a单调递减
a=-8,x₁=1/4 h(x₁)=-8·(1/4)²+8·(1/4)-ln(1/4)>0
∴极小值>0,h(x)有一个零点x=1
0<a<1 驻点：x₁=(a+√a²+8a)/4a>1为极小值点
h(x₁)<h(1)=0,h(x)有二个零点
a=1 x₁=1，h(x)有一个零点x=1
a>1 驻点：x₁=(a+√a²+8a)/4a<1为极小值点
h(x₁)<h(1)=0,h(x)有二个零点.
综上：a≤0∪a=1时，h(x)有一个零点x=1
0<a<1∪a>1时，h(x)有二个零点