Question

解释一下用柯西不等式 x∧2+y∧2=4,求4x+3y的最大值 另外再介绍一下其它方法

Answer 1

(1)柯西不等式法:
4=x²+y²
=(4x)²/16+(3y)²/9
≥(4x+3y)²/(16+9)
∴-10≤4x+3y≤10.
故所求最大值10.

(2)三角代换法:
依条件式，可设
x=2cosθ，y=2sinθ.
∴4x+3y
=8cosθ+6sinθ
=10sin(θ+φ)
(其中，tanφ=8/6)
-1≤sin(θ+φ)≤1，
∴-10≤4x+3y≤10.
故所求最大值为10.

(3)数形结合法.
设4x+3y=t，
此直线与圆心(0,0)距离不大于半经2，
∴|4·0+3·0-t|/√(3²+4²)≤2
∴-10≤t≤10，
故所求最大值为10.

(4)判别式法
设4x+3y=t，
代入条件式得
x²+[(t-4x)/3]²=4
∴25x²-8x+t²-36=0.
△=64-100(t²-36)≥0
解得，-10≤t≤10.
故所求最大值为10。

Answer 2

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