Question

在三角形ABC中，AB=2，AC=根号6，BC=1+根号3，AD为BC上的高，求AD

不用海伦公式，用最原始的方法，在线等

Answer 1

解法一：几何方法
∵AD是BC上的高
∴⊿ADB、⊿ADC为RT⊿
∵RT⊿ADB中，AD²=AB²-BD²
RT⊿ADC中，AD²=AC²-CD²
∴AB²-BD²=AC²-CD²
∴CD²-BD²=AC²-AB²
∴(CD+BD)(CD-BD)=AC²-AB²
∵CD+BD=BC
∴CD-BD=(AC²-AB²)/BC
∵AB=2，AC=√6，BC=1+√3
∴CD-BD=[(√6)²-2²]/(1+√3)²=√3-1
∵CD+BD=1+√3
∴BD=1，CD=√3
∴AD²=AB²-BD²=2²-1²=3
∴AD=√3

解法二：三角函数法：
由余弦定理得
cosB=(BC²+AB²-AC²)/(2·AB·BC)
AB=2，AC=√6，BC=1+√3代入，得
cosB=[2²+(1+√3)²-(√6)²]/[2·2·(1+√3)]=1/2
B为三角形内角，B=π/3
三角形面积一定
S⊿ABC=½·AB·BC·sinB=½·BC·AD
AD=AB·sinB=2·sin(π/3)=2·√3/2=√3
AD的值为√3。

解法一是几何方法，通过直角三角形求解；
解法二是代数法中的三角函数法，通过余弦定理求解。
本题运用几何方法、代数方法都可以求得结果，结果是一样的。
三角函数法用到的公式：
余弦定理：cosB=(a²+c²-b²)/(2ac)
面积公式：S⊿=½acsinB

Answer 2

解：设BD=x,DC=1+根号3-x，则：
AD=4-x^2,AD=6-(1+根号3-x)^2=-x^2+(2+2倍根号3）x+2-2倍根号3
所以4-x^2=-x^2+(2+2倍根号3）x+2-2倍根号3
解得x=1
所以AD=根号下（4-x^2）=根号3

Answer 3

设AD为X,BD=Y,CD=Z,根据公式列方程，解方程。就OK了。