Question

一道定积分试题，请详细解答谢谢

Answer 1

　　解：设x+1/x=t，则(1/x)^2-t/x+1=0，x^2+1/x^2=t^2-2。解得，1/x=[t±√(t^2-4)]/2。
　　由f(x+1/x)=(x+x^2)/(1+x^4)=(1/x+1)/(x^2+1/x^2)，
　　∴f(t)=[t+2±√(t^2-4)]/[2(t^2-2)]，即f(x)=[x+2±√(x^2-4)]/[2(x^2-2)]。
　　∴∫(2,2√2)f(x)dx=∫(2,2√2)[x+1±√(x^2-4)]dx/[2(x^2-2)]。再设x=2secθ，θ∈[0,π/4]，
　　∴∫(2,2√2)f(x)dx=∫(0,π/4)(cosθ+1±sinθ)sinθdθ/[cosθ(2-(cosθ)^2)]=∫(0,π/4)(cosθ+1)sinθdθ/[cosθ(2-(cosθ)^2)]±∫(0,π/4)(sinθ)^2dθ/[cosθ(2-(cosθ)^2)]。
　　而∫(cosθ+1)sinθdθ/[cosθ(2-(cosθ)^2)]=-∫(cosθ+1)d(cosθ)/[cosθ(2-(cosθ)^2)]=-(1/2)ln丨cosθ丨+(1/4)ln丨2-(cosθ)^2丨-(1/2√2)ln丨(√2+cosθ)/(√2-cosθ)丨+C1，
　　∫(sinθ)^2dθ/[cosθ(2-(cosθ)^2)]=∫[1-(cosθ)^2]dθ/[cosθ(2-(cosθ)^2)]=(1/2)ln丨secθ+tanθ丨-(1/2)arctan(sinθ)+C2,
　　∴∫(2,2√2)f(x)dx=[(1-√2)/4]ln3+(√2/2)ln(√2+1)±(1/2)[ln(√2+1)+arctan(1/√2)]。

追问

谢谢，能不能写在纸上拍下来

追答

不好意思，原来是写纸上的。可能是“技术”不行，老是上传不成功。