Question

线性代数习题四道，求解。

最好能有过程，谢谢啦

Answer 1

10（1）求特征值，|A-λE|=0的解。
1-λ，2, 4
2， -2-λ，2
4, 2, 1-λ
=-（1-λ）²（2+λ）+16+16-8（1-λ）+16（2+λ）
=-（1-λ）²（2+λ）-8（1-λ）+16（2+λ）+32
=-（1-2λ+λ²）（2+λ）-8+8λ+32+16λ+32
=-2-λ+4λ+2λ²-2λ²-λ³+24λ+56
=54+27λ-λ³=0
λ³-27λ-54=0，λ³+3λ²-3λ²-9λ-18λ-54=(λ+3)(λ²-3λ-18）=(λ+3)²(λ-6)
λ=-3（二重根）,6

追问

可以做完嘛，大神，分不是问题。

追答

求特征向量。
（A-λE）X=0，X就是与λ对应的特征向量，
这个等式，就是一个n维齐次线性方程组，可以用线性方程的矩阵解法求解。由于|A-λE|=0,这个方程有非零解，任意一个非零解，都是特征向量。（如果|A-λE|≠0，只有0解）
1-λ，2, 4
2， -2-λ，2
4, 2, 1-λ
λ=-3,代入：
4，2, 4
2，1，2
4, 2, 4
3行-1行，2行-1行/2，1行/2
2，1, 2
0，0，0
0, 0, 0
这表示，x2，x3作为参数，2x1+x2+2x3=0，x1=-x2/2-x3
取x2=1，x3=0，x1=-1/2，v1=（-1/2,1,0）是一个特征向量；
取x2=0，x3=1，x1=-1，v2=（-1,0,1）是一个特征向量；
与λ=-3对应的特征向量可以表示为：k1v1+k2v2，k1，k2是任意常数，不同时为0；
λ=6,代入：
-5，2, 4
2， -8，2
4, 2, -5
2行/2
-5，2, 4
1， -4，1
4, 2, -5
2行×加到1行，2行×（-4）加到3行：
0，-18, 9
1， -4，1
0, 18, -9
1行加到3行，一行/（-9）
0， 2, -1
1， -4，1
0, 0, 0
1行加到3行
1行加到2行：
0， 2, -1
1， -2，0
0, 0, 0
解有一个参数，取x3为参数，2x2-x3=0，x2=x3/2，
x1-2x2=0，x1=2x2=x3
特征向量（x3，x3/2，x3）=x3（1,1/2,1）=k3（1,1/2,1）
v3=（1,1/2,1）是一个λ=6对应特征向量，所有该组特征向量可以表示为k3v3，k3是任意常数，不为0