Question

一道数学题 求解

三棱锥P-ABC中，侧面PAC与底面ABC垂直，PA=PB=PC=3。

（1）求证：AB⊥BC ；
（2）如果AB=BC=2 ，求AC与侧面PAC所成角的大小。请各位详细回答我吧

Answer 1

：（1）取AC中点O，连结PO、BO
∵PA=PC　
∴PO⊥AC　
又∵侧面PAC⊥底面ABC
∴PO⊥底面ABC
又PA=PB=PC　
∴AO=BO=CO
∴△ABC为直角三角形　
∴AB⊥BC。

等一下，我发现下面有点儿错误。

（2）取BC的中点为M，连结OM，PM，
所以有OM=AB=根号3，AO=1/2 *根号【2*（2根3）^2】=根号6
∴PO=根号（PA^2-AO^2)=根号3
由（1）有PO⊥平面ABC，OM⊥BC，
由三垂线定理得PM⊥BC
∴平面POM⊥平面PBC，
又∵PO=OM=根号3

∴△POM是等腰直角三角形，取PM的中点N，连结ON，NC
则ON⊥PM，
又∵平面POM⊥平面PBC，且交线是PM，
∴ON⊥平面PBC
∴∠ONC即为AC与平面PBC所成的角
ON=PM/2=1/2 *根号【2*(根3）^2】=(根号6 ) /2, OC=根号6 

∴sin∠ONC=ON/OC=0.5
∴∠ONC=30度

故AC与平面PAC所成的角为30度。

追问

又PA=PB=PC　∴AO=BO=CO∴△ABC为直角三角形这是怎么来的？

追答

这一段有一点略了。
可以证明三角形AOP,BOP,COP是全等的（HL），这样AO=BO=CO，ABC在以O为圆心的圆上，所以△ABC为直角三角形。
也可折腾一下三角形ABC的内角得到△ABC为直角三角形，不过不太好写，如果你想知道我再写吧。
（你第二问的题是不是写错了？）