Question

下列极限中结果等于e的是： lim(1+sinx/x)^x/sinx

求解释AB？

Answer 1

最基础的题目了。
解析很清晰，是正确的。
高中两个重要极限的结合题。
第一个重要极限：
lim sinx/x=1
x→0
第二个重要极限：
lim (1+ 1/x)^x=e
x→∞
lim (1+ x)^(1/x)=e
x→0
第二个重要极限的前提是x→∞时，1/x→0，不满足的话，就不能用这个公式。
A选项：
由第一个重要极限得：
lim (1+sinx/x)^(x/sinx)
x→0
=(1+1)¹
=2
此时，sinx/x并不是∞，因此不能套用第二个重要极限。
B选项：
x→∞，sinx有界，x→∞，因此sinx/x→0，满足第二个重要极限的前提条件。
lim (1+sinx/x)^(x/sinx)=e
x→∞

追问

lim (1+sinx/x)^(x/sinx)
x→0
=(1+1)¹
=2
右上角为什么是小1？带入不了啊？还是说lim也对x/sinx起作用？
第二个重要极限的前提是x→∞时，1/x→0，不满足的话，就不能用这个公式
那么x→0的那种情况呢，x→0？

追答

lim对指数也起作用。第二个重要极限的前提是x→∞时，1/x→0，不满足的话，就不能用这个公式，是针对本题而言。解析已经非常清楚了，无意义的追问不再回复。
看来你还没学两个重要极限。那不对了啊，从题目看，应该学了的啊。是在预习吗？
如果是的话，可以保留你的问题，等上这节课内容时，向老师提问。

Answer 2

把sinx/x看成整体用t代换，讨论t的趋向