Question

f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导且f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1，证明：至少存在一点ξ

f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导且f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1，证明：至少存在一点ξ∈（0，1），满足f'（ξ）=1.

Answer 1

可以考虑罗尔定理

答案如图所示

Answer 2

令g（x）=f（x）-x，则g（x）在[
1
2
，1]连续，在(
1
2
，1)可导，且g（1）=f（1）-1=0-1=-1＜0，g(
1
2
)=f(
1
2
)-
1
2
=1-
1
2
=
1
2
＞0
∴由零点定理：∃η∈(
1
2
，1)，使得g（η）=0，即f（η）=η
命题得证
（2）设h（x）=e-λx[f（x）-x]，x∈[0，η]，则h（x）在[0，η]连续，在（0，η）可导，且h（0）=h（η）=0
∴由洛尔定理可知，∃ξ∈（0，η），使得h'（ξ）=0
又h'（x）=e-λx[f'（x）-1-λ（f（x）-x）]
∴由h'（ξ）=0，得：
e-λξ[f'（ξ）-1-λ（f（ξ）-ξ）]=0
∴f'（ξ）-λ（f（ξ）-ξ）=1
命题得证