Question

求解一道高数证明题！！！谢谢大神！！

求解一道高数证明题！！！谢谢大神！！有且仅有一个正根

Answer 1

直接用零点定理即可。
设f(x)=x^5-5x+1
明显该函数在实数域内连续且可导，我们取区间[0,1]
f'(x)=5x^4-5=5(x^4-1)
当0＜x＜1时，f'(x)＜0，所以f(x)在(0,1)是单调递减。
又因为f(0)=1＞0，f(1)=1-5+1=-3＜0
根据零点定理，在(0,1)上存在ξ，使得f(ξ)=0。
又因为是单调递减的，所以只存在一个ξ这样的根。
故命题得证。

追问

零点定理可以举个例子吗

追答

你高数书上没有吗？

零点定理，设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与 f(b)异号（即f(a)× f(b)<0），那么在开区间（a,b）内至少有函数f(x)的一个零点，即至少有一点ξ（a<ξ<b）使f(ξ)=0。

直接用定理就行了，很好理解的

追问

翻到了！！会了谢谢你啊