Question

求微分方程 y'''-2y''+y'=(xe^-x)+5 y(0)=2 , y'(0)=2 , y''(0)=-1 带过程 谢谢

在代入初始条件后不理解

Answer 1

求微分方程 y'''-2y''+y'=(xe^-x)+5，满足初始条件 y(0)=2 , y'(0)=2 , y''(0)=-1的特解；
解：先求齐次方程 y'''-2y''+y'=0的通解：
其特征方程：r³-2r²+r=r(r²-2r+1)=r(r-1)²=0 的根：r₁=0，r₂=r₃=1.
故其通解为：y=c₁+(e^x)(c₂+c₃x);
再设其特解为：y*=(ax²+bx+c)e^(-x)+kx...........①
则y*'=(2ax+b)e^(-x)-(ax²+bx+c)e^(-x)
=[-ax²+(2a-b)x+b-c]e^(-x)+k;
y*''=(-2ax+2a-b)e^(-x)-[-ax²+(2a-b)x+b-c]e^(-x)
=[ax²-(4a-b)x+(2a-2b+c)]e^(-x);
y*'''=[2ax-(4a-b)]e^(-x)-[ax²-(4a-b)x+(2a-2b+c)]e^(-x)
=[-ax²+(6a-b)x-(6a+3b-c)]e^(-x)
[-ax²+(6a-b)x-(6a+3b-c)]e^(-x)-2[ax²-(4a-b)x+(2a-2b+c)]e^(-x)
+[-ax²+(2a-b)x+b-c]e^(-x)+k=xe^(-x)
整理得：[-4ax²+(16a-4b)x-2a-6b+2c]e^(-x)+k=xe^(-x)+5
故 a=0；16a-4b=-4b=1；∴b=-1/4;
-2a-6b+2c=3/2+2c=0, ∴c=-3/4；k=5.
代入①式得y*=[-(1/4)x-(3/4)]e^(-x)+5x;
于是得原方程的通解为：y=c₁+(e^x)(c₂+c₃x)-[(1/4)x+(3/4)]e^(-x)+5x
代入初始条件：y(0)=c₁+c₂-3/4=2；即c₁+c₂=11/8...........②
y'=(e^x)(c₂+c₃x)+c₃e^x+[(1/4)x+(3/4)]e^(-x)-(1/4)e^(-x)+5
=(c₂+c₃+c₃x)e^x+[(1/4)x+(1/2)]e^(-x)+5
代入初始条件：y'(0)=c₂+c₃+(3/4)+(1/2)+5=c₂+c₃+(25/4)=2
即有 c₂+c₃=-17/4.........③
y''=(c₂+c₃+c₃x)e^x+c₃e^x-[(1/4)x+(1/2)]e^(-x)+(1/4)e^(-x)
=(c₂+2c₃+c₃)e^x-(1/2)e^(-x)
代入初始条件y''(0)=c₂+2c₃+c₃-1/2=-1
故得c₂+3c₃=-1/2............④
①②③联立求解得: c₁=15/2; c₂=-49/8；c₃=15/8.
故原式的特解为：
y=(15/2)+[(-49/8)+(15/8)x](e^x)-[(1/4)x+(3/4)]e^(-x)+5x

追问

答案不是正确的..

追答

这题目运算过程很啰嗦，但解题方法是对的，
三个常数运算可能有错，我没仔细检查，你
自己复核一下，若有错自己更正。