Question

在证明多元函数可微的充分条件时，全增量什么等于两个偏增量之和?

Answer 1

全增量为
△z=f(x0+△x，y0+△y)-f(x0，y0)

=f(x0+△x，y0+△y)-f(x0+△x，y0)
+f(x0+△x，y0)-f(x0，y0)

=fy'(x0+△x，ξ1)·△y+fx'(ξ2，y0)·△x
【其中ξ1在y0与y0+△y之间，
ξ2在x0与x0+△x之间】

然后利用一阶偏导数的连续性，
【ξ1→y0，ξ2→x0】

fy'(x0+△x，ξ1)=fy'(x0，y0)+α
fx'(ξ2，y0)=fx'(x0，y0)+β
【其中，α，β是无穷小】

从而，
△z=fy'(x0，y0)△x+fx'(x0，y0)△y
+α△x+β△y

其中，α△x+β△y=o(ρ)

所以，最终，根据全微分的定义，
dz=fy'(x0，y0)dx+fx'(x0，y0)dy

即：全增量等于两个偏增量的和。

追问

没错，我就是想问下第一步怎么来的[捂脸]

追答

哪个第一步？

追问

△z=f(x0+△xy0+△y)-f(x0y0)

=f(x0+△xy0+△y)-f(x0+△xy0)
+f(x0+△xy0)-f(x0y0)

追答

减一个f(x0+△x，y0)

然后加上它，
式子的值不变啊！

Answer 2

引用yq_whut的回答：
全增量为
△z=f(x0+△x，y0+△y)-f(x0，y0)

=f(x0+△x，y0+△y)-f(x0+△x，y0)
+f(x0+△x，y0)-f(x0，y0)

=fy'(x0+△x，ξ1)·△y+fx'(ξ2，y0)·△x
【其中ξ1在y0与y0+△y之间，
ξ2在x0与x0+△x之间】

然后利用一阶偏导数的连续性，
【ξ1→y0，ξ2→x0】

fy'(x0+△x，ξ1)=fy'(x0，y0)+α
fx'(ξ2，y0)=fx'(x0，y0)+β
【其中，α，β是无穷小】

从而，
△z=fy'(x0，y0)△x+fx'(x0，y0)△y
+α△x+β△y

其中，α△x+β△y=o(ρ)

所以，最终，根据全微分的定义，
dz=fy'(x0，y0)dx+fx'(x0，y0)dy

即：全增量等于两个偏增量的和。

这里最后△z应该等于fx'(x0，y0)△x+fy'(x0，y0)△y+β△x+α△y？