Question

大一数学分析的题 第一题，证明充分性和必要性

Answer 1

必要性
因f(x)→a(x→∞)，则对任意的ε＞0，存在G＞0，当|x|＞G时，|f(x)-a|＜ε.
现对任意的数列{Xn},设其满足Xn→∞(n→∞),就是对任意的G＞0，存在N∈Z+(Z+表示正整数集)，当n＞N时，有 |Xn|＞G.
所以对于任意的ε＞0,当n＞N时，|f(Xn)-a|＜ε，也就是对任意的数列{Xn},满足Xn→∞(n→∞)，必有f(Xn)→a (n→∞).
充分性
用反证法
(考虑f(x)在x→∞时，f(x)不收敛于a是什么意思，这些极限定义的相关命题一定要清楚)
假设在条件成立情况下，f(x)在x→∞时，f(x)不收敛于a.
那么至少存在一个ε'＞0,对于任意的G＞0，在|x|＞G时,我们至少能找到一个x',它满足|x'|＞0，但是|f(x')-a|＞ε'.
由于G是任意的，我们现在取一组特别的G构成数列{Gn}，简单起见,就让它是Gn=n(n=1,2,3,....),那么对应{Gn}中的G1,G2,...有x1,x2,...构成数列{Xn}(n=1,2,3,....),数列{Xn}中的每一项Xn，满足|Xn|＞n(n=1,2,3,...),显然有Xn→∞(n→∞)，而且还满足
|f(Xn)-a|＞ε'.
现在回头看充分性的条件，它是说对于任何一个数列{Xn}，只要它满足Xn→∞(n→∞)，那么就必有f(Xn)→a(n→∞)，这意思就是意味着对于任意的ε＞0，存在N∈Z+,当n＞N时，必有
|f(Xn)-a|＜ε,既然ε是任意的，那我们他妈的取ε=ε',我们再取一个发散到∞的数列{Xn}就是我们刚刚找的那个，这时候对于无论如何大的N，n＞N时，|f(Xn)-a|＞ε',因为这个数列我们在构造它的时候就满足，每一项都有|f(Xn)-a|＞ε'这意味着f(Xn)不收敛于a.
我们得到两个互相矛盾的结论，条件说对于任何一个数列{Xn}，只要它满足Xn→∞(n→∞)，那么就必有f(Xn)→a(n→∞)，但是我们有自己造的一个数列{Xn}它满足Xn→∞(n→∞)，然而n→∞时，f(Xn)不收敛到a，我们这个数列是在我们自己的假设下取到的，所以原假设不成立，充分性证毕.
希望我说清楚了，有疑问请追问，只希望你能懂！