Question

设随机变量X 与Y 独立，X 在区间［0,2］上服从均匀分布，Y 服从指数分布e

设随机变量X 与Y 独立，X 在区间［0,2］上服从均匀分布，Y 服从指数分布e (2),求:（1）二维随机变量（X,Y ）的联合概率密度，（2）概率P {X ≤Y }（注：重点是第二问）

Answer 1

由题设知［＊］

因为随机变量X和Y相互独立，

所以二维随机变量（X，Y）的概率密度为［＊］

所以P｛X＋Y＞1）＝1－P｛X＋Y≤1｝

X和Y相互独立则有fx（x）＊fy（y）＝f（x，y）

Y服从均值为1／2的指数分布，即参数1／λ＝1／2，λ＝2

X Y相互独立,那么XY联合分布密度

f(x,y)=fx(x)*fy(y)fx(x)

=5e^(-5x) fy(y)

=1/2P(X>=Y)

=∫∫ f(x,y)dxdy

=∫(0,2)1/2∫(y,∞)5*e^(-5x) dx

=1/2∫(0,2) e^(-5y)dy

=1/2* (-1/5e^(-5y)) (0,2)

=1/10*(1-e^(-10))。

扩展资料

随机变量X的分布函数F(x)表示随机变量X的取值小于x时的概率：P(X<x)。

大X表示随机变量，小x表示随机变量X所取的具体数值。P表示概率

书上还有解释：如果将X看成数轴上随机点的坐标，那么分布函数F（x)在x处的函数值就表示点X落入区间（-∞,x]上的概率。

可以这样理解：假设现在有全世界所有人的身高的分布函数，而你的身高是175cm，那么分布函数在175cm处的取值就是所有比你矮或者和你一样高的人占全世界所有人的比例。

姚明的身高是226cm，那么分布函数在226cm处的取值就是所有比姚明矮或者和姚明一样高的人占全世界所有人的比例。

Answer 2

答案见图

追问

结果不对，抱歉

追答

题目第二问是X＜=Y的概率还是Y＜=X的概率？

如果Y＜=X,结果是1/e

Answer 3

(1)fX(x)=1/a+b=1/2. 0≦x≦2
=0. 其他
fY(y)=入e^-入y=2e^–2y. y>0
=0. 其他
f(x,y)=fX(x)fY(y)
=e^-2y. 0≦x≦2 y>0
=0. 其他
(2)P{X≦Y}=分别在x(0.2),y(x,正无穷)上对e^-2y积分
=1/4(1-e^-4)