Question

关于圆的数学问题

1、如图,已知以等腰△ABC的顶点A为圆心作圆,交BC所在直线于D,E两点,求证,DB=CE
2、已知圆O的两条弦AB‖CD，且AB=6，CD=8，圆O的直径为10，求AB与CD间的距离。
3，如图，圆O的直径AB和弦CD相交于E，已知AE=1，EB=5，角DEB=30°，(1)求CD的弦心距 (2)弦CD的长
4、如图，A、B、C、为圆O上的三点，D、E分为为 弧AC，弧AB的中点，连结DE分别交AB、AC于F、G，求证：AF=AG
各位，这是图

Answer 1

一个个来好了

1、连接AD、AE ，∵AB=AC 、∠ABD=∠ACE 又∵AD、AE 分别为圆的半径 ∴AD=AE 综上 △ABD≌△ACE ∴DB=CE

2、连接OB、OD 过O点 做AB、CD的垂线,垂足分别为E、F 。Rt△OBE中 BE=3 OB=5 ∴由勾股定理得 OE=4 在Rt△ODF中 OD=5 DF=4 ∴OF=3 则AB与CD间的距离等于OE+OF=3+4=7

3、 1） 直角三角形中 30°角所对的边等于斜边的一半 过O点作CD的垂线 垂足为F ∴CD的弦心距OF等于OE的一半 又 OE=BE-OB OB=½AB=3 ∴OE=2 ∴CD的弦心距为1

2） 由1）得 OF=1 又OD=3 在Rt△ODF中 由勾股定理得DF=2根号2 ∴ CD=4根号2

4、弧CE=弧AE ∴弧CE所对的角∠CAE=弧AE所对的角∠ADE
同理 弧AD=弧BD ∴弧BD所对的角∠BAD=弧AD所对的角∠AED
即∠CAE=∠ADE ∠AED=∠BAD
∴∠CAE+∠AED=∠ADE+∠BAD
即180 °-∠AGE =180°-∠AFD
∴∠AFG=∠AGF
∴AF=AG

Answer 2

1、证明：过A点做△ABC的垂线 垂足为H
∵D E在圆上，A为圆心
∴AE=AD
又∵△ABC为等腰三角形
∴AH垂直平分BC DE
∴∠DAH=∠HAE
△DAH≌△HAE
∴BD=BE-DE EC=CH-HE
∵BH=HC DH=HE
∴DB=CE
2、过圆心O做AB CD的垂线垂足为E F
连接AO CO
已知AB=6，CD=8
∴AD=3 CE=4 R=5 根据勾股定理得 OD=4 OE=3
AB与CD间的距离为7
3、由题意知 AE=1 BE=5 R=3
过圆心O做CD垂线 垂足为H
在Rt△OEH中 ∠OEH=30° OE=2
∴EH=1 OH=根号3
又∵在Rt△OHD中 OD=3 ∴HD=根号6
CD的弦心距为1 弦CD的长为2倍根号6
4、链接AD AE EC DB
∵D是弧AB中点 E是弧AC中点
∴∠AED=∠BAD
∠ADE=∠ACE
∴∠AED+∠ACE=∠BAD+∠ADE
∴∠AFG=∠AGF
∴AF=AG

Answer 3

1作BC的高AF由题意得AF垂直BC，AD＝AE，AB＝AC，所以角ADF＝角AEF，角DAF＝角EAF，角BAD＝角CAE，三角形ABD全等于三角形ACE，所以BD＝CE 2同侧1异侧7 3作OF垂直CD，因为角BED＝30度，EF＝1，所以OF=根号3，CF＝3，CD＝6 4连接EO，DO,因为EO＝DO，所以角FEP＝角GDO，又因为角EPF＝角DQG＝90度，所以角EFP＝角DGQ，所以角AFG＝角AGF，所以AF＝AG

Answer 4

解：EBCM为菱形。
因为弧BC所对的角有∠BAC和∠BMC，所以∠BAC=∠BMC。

又因为BM平分∠ABC交外接圆于点M，所以∠ABM=∠MBC，

又因为AB=AC,∠ABC=2∠A,所以∠ABM=∠BMC，BC=MC.
所以EB//MC。

又因为ME∥BC，所以该四边形为菱形。

Answer 5

解：四边形EBCM为菱形
证明：∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB
又∵BM平分∠ABC
∴∠ABM=∠CBM
∵ME∥BC交AB于点E
∴∠EMB=∠MBC
即是∠EMB=∠ABM
∴EB=EM
又∵∠MBC=∠BMC
∴BC=CM
即是EB=BC=CM=EM
且EM∥BC，EB//MC
∴四边形EBCM为菱形

Answer 6

EBCM是菱形。
证明：ME//BC，则∠EMB=∠CBM，又因为∠CBM=∠EBM，则∠EMB=∠EBM，可得EB=EM，同理可得BC=CM，故EBCM是菱形。