Question

高等数学，如下图 4 6 7 ，求详细解答

Answer 1

|郭敦荣回答：
4，选D，则有
y″+Acos2x+Bsin2x=cos2x，
y″=（1－A）cos2x－Bsin2x
∵y=Acos2x+Bsin2x，
∴y′=－2Asin2x+2Bcos2x
y″=－4Acos2x－4Bsin2x
对应项系数相等，（1－A）=－4A，A=－1/3；
－B=－4B，B=0，
一个特解是：y=－（1/3）cos2x
于是，y′=（2/3）sin 2x
y″=（4/3）cos2x
y″+y=y″－（1/3）cos2x =（4/3）cos2x－（1/3）cos2x= cos2x
y″+y=cos2x
还原验证正确，
6，y″－2y′+5y=（e^x）cos2x，特解的形式是y=（e^x）（Acos2x+Bsin2x），其理与4题类同，都是待定系数法，选项为B。
y=（e^x）（Acos2x+Bsin2x）=A（e^x）cos2x+B（e^x）sin2x，
5y= 5A（e^x）cos2x+ 5B（e^x）sin2x
y′= A [（e^x）cos2x－2（e^x）sin2x]+B[（e^x）sin2x+2（e^x）cos2x]
=（A+2B）（e^x）cos2x+（－2A+ B）（e^x）sin2x

y″=（A+2B）[（e^x）cos2x－2（e^x）sin2x]+（－2A+ B）[（e^x）sin2x+2（e^x）cos2x]
=[（A+2B）+2（－2A+ B）] （e^x）cos2x+[－2（A+2B）+（－2A+ B）] （e^x）sin2x
=（－3A+4B）（e^x）cos2x－（4A+3B）（e^x）sin2x
y″－2y′+5y=[（－3A+4B）（e^x）cos2x－（4A+3）（e^x）sin2x]
－2[（A+2B）（e^x）cos2x+（－2A+ B）（e^x）sin2x]
+[5A（e^x）cos2x+ 5B（e^x）sin2x]
=[（－3A+4B）－2（A+2B）+5] （e^x）cos2x
+[－（4A+3B）－2（－2A+ B）+5] （e^x）sin2x
=（－5A+5）（e^x）cos2x+（－5B+5）（e^x）sin2x=（e^x）sin2x
对应项系数相等，（－5A+5）=1，A=4/5；（－5B+5）=0，B=1
y=（e^x）（Acos2x+Bsin2x）=（4/5）（e^x）cos2x+（e^x）sin2x，
7，y″－4y′+4y=6x²+8e^2x
特解的形式是：y=Ax²+Bx+C+Dx²e^2x，选B，C=0，
对应项系数相等，4A=6，A=3/2；（2A－4B）=0，A=2B，B=3/4；2D=8，D=4。
解得A=3/2，A=2B，B=3/4；C=0；D=4。

t= Dx²e^2x
t′=2Dxe^2x+ 2Dx²e^2x
t″=2De^2x+8Dxe^2x+ 4Dx²e^2x]
t″－4t′+4t
=[2De^2x+8Dxe^2x+ 4Dx²e^2x]－4[2Dxe^2x+ 2Dx²e^2x]+4Dx²e^2x
=2De^2x+（8－8）Dxe^2x+（4－8+4）Dx²e^2x
=8e^2x，
2D=8，D=4