Question

这个级数怎么算出来的

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Answer 1

解：分享一种解法，借助“级数”求和解决。
设S(x)=∑[(-1)^k]x^(2k+1)/(2k+1)，k=1,2，……，∞。可求得，x∈[-1,1]时，S(x)收敛。
而，由S(x)两边对x求得、丨x丨<1时，S'(x)=∑[(-1)^k]x^(2k)=∑[(-x²)^k=-x²/(1+x²)。
∴S(x)=∫(0,x)S'(x)dx=-∫(0,x)x²dx/(1+x²)=arctanx-x。
令x=1，∴∑[(-1)^k]/(2k+1)=π/4-1。
供参考。