高数证明题 定积分 20
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因为x、e^(-x^2)、∫(0,x)e^(t^2)dt都在R上的连续函数
所以f(x)在R上连续
因为lim(x->∞)f(x)=lim(x->∞) x∫(0,x)e^(t^2)dt/e^(x^2)
=lim(x->∞) [∫(0,x)e^(t^2)dt+xe^(x^2)]/[2x*e^(x^2)]
=lim(x->∞) [2e^(x^2)+2x^2*e^(x^2)]/[2e^(x^2)+4x^2*e^(x^2)]
=lim(x->∞) (1+x^2)/(1+2x^2)
=1/2
所以f(x)在R上有界
所以f(x)在R上连续
因为lim(x->∞)f(x)=lim(x->∞) x∫(0,x)e^(t^2)dt/e^(x^2)
=lim(x->∞) [∫(0,x)e^(t^2)dt+xe^(x^2)]/[2x*e^(x^2)]
=lim(x->∞) [2e^(x^2)+2x^2*e^(x^2)]/[2e^(x^2)+4x^2*e^(x^2)]
=lim(x->∞) (1+x^2)/(1+2x^2)
=1/2
所以f(x)在R上有界
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