Question

留数定理计算实积分

留数定理计算实积分请问图中括号1和2中 的式子是如何变换得到的 是否是利用欧拉公式换出来的 请给个详细过程的 谢谢

Answer 1

∵在圆丨z丨=4内，f(z)=1/[(z+2)(z+3)]有z=-2、z=-3两个一阶极点，

∴原式=2πi{Res[f(z)，-2]+Res[f(z)，-3]}。另一方面，Res[f(z)，-2]=1/（z+3)丨(z=-2)=1，Res[f(z)，-3]=1/(z+2)丨(z=-3)=-1。从而，原式=0。

扩展资料：

Res(f, ak)表示f在点ak的留数，I(γ, ak)表示γ关于点ak的卷绕数。卷绕数是一个整数，它描述了曲线γ绕过点ak的次数。如果γ依逆时针方向绕着ak移动，卷绕数就是一个正数，如果γ根本不绕过ak，卷绕数就是零。

在计算柯西分布的特征函数时会出现，用初等的微积分是不可能把它计算出来的。我们把这个积分表示成一个路径积分的极限，积分路径为沿着实直线从−a到a，然后再依逆时针方向沿着以0为中心的半圆从a到−a。取a为大于1，使得虚数单位i包围在曲线里面。

参考资料来源：百度百科-留数定理

Answer 2

如图所示：

单极点时用这个公式很方便。

追问

你好

其实我想问是这一步的

这个好像是用欧拉公式 化简出来的 但做不出来 能不能给个详细过程的

追答

这是取实部

追问

嗯嗯

其实我想说那个从左边到右边除了取实部的那部分

式子的变形

你等我写一下

可能我说的不明白

追答

你是指路径吧？这里|z|=R+是指半径为R的上半圆部分

追问

这两个式子左右两边为啥相等

追答

像它这样写其实不严谨，它假设了虚部的积分为0

追问

哦 这样啊

怪不得

追答

但经过实际计算后，只剩下实部部分，所以虚数部分才等于0，于是整个积分相当于只要计算实部即可

追问

懂了的 非常感谢的

谢谢