Question

如果实数x,y满足x^2+y^2=1,则(1+xy)(1-xy)有

高一必修1内容

Answer 1

因为x^2+y^2=1，其中x和y的绝对值都不大于1，所以Y2＝1－x2，而(1-xy)(1+xy)展开为1－x2y2，把Y2＝1－x2代入到其中可以得到x4－x2＋1，设为F（x）．求导得F‘（x）＝4x3－2x，令F‘（x）＝0，解得x＝根号2/2，0，和负根号2/2，得到其中的x＝0是极大值的点，另外两个是极小值的点．代入数据，可知道x＝0时候取得极大值与其在定义域〔－1，1〕两端点－1和1处值相同，都为1，而把两个极小值代入F（x）得到的值都为3/4．

Answer 2

(x+y)²>=0
所以1=x²+y²>=-2xy
xy>=-1/2

(x-y)²>=0
1=x²+y²>=2xy
所以xy<=1/2

所以-1/2<=xy<=1/2
0<=x²y²<=1/4
-1/4<=-x²y²<=0

原式=1-x²y²
则3/4<=1-x²y²<=1

所以(1+xy)(1-xy)最大值=1，最小值=3/4

Answer 3

因为
xy≤(x^2+y^2)/2=1/2，
所以
0≤(xy)^2≤(1/2)^2=1/4，
那么
-1/4≤-(xy)^2≤0
于是
1-1/4≤1-(xy)^2≤1
即
3/4≤1-(xy)^2≤1
所以得
3/4≤(1-xy)(1+xy)≤1，
代数式
(1-xy)(1+xy)的最小值为3/4，最大值为1
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