Question

高数极限题

Answer 1

【资料上的解答有错】

Answer 2

首先将分子分母括号打开，指数合并，分子x的指数依次是2n-1, 2, 1. 分母是x^2n + 1. 观察到n→∞，需要讨论的是x^(2n-1)和x^(2n)的情况。因n→∞，(2n-1)→∞，(2n)→∞，对于x的无穷大次方，需要讨论x的取值。当|x|＜1，x^(2n-1)→0，x^(2n)→0，得原极限=ax²+bx；当x=1，x^(2n-1)=x^(2n)=1，得原极限=(1+a+b)/2；当x=-1，x^(2n-1)=-1，x^(2n)=1，得原极限=(-1+a-b)/2；当|x|＞1，x^(2n-1)→∞，x^(2n)→∞，整个极限式只有这两项是无穷大量，其余均是常数，常数忽略不计，得原极限=x^(2n-1)/x^(2n)=x^(-1)=1/x。
应注意的是题目中写n→∞，由于n指自然数，等同于n→+∞，不存在n→-∞的情况。因此题目中也默认n→∞时，2n是偶数，2n-1是奇数。

追问

题目并没说明n为自然数