Question

线性代数。这题第一问的特征向量怎么求，按常规方法麻烦呀

Answer 1

就用常规方法来求特征值，注意，特征行列式，用分块矩阵方法
λE B
B λE
其中分块B=
a b
b a
则特征行列式|λE-A|
=
λE B
O λE-B/λ
=|λE(λE-B/λ)|
=|λ^2E-B|
由于B的特征多项式是|λE-B|=(λ-a)^2-b^2=(λ-a+b)(λ-a-b)
则|λ^2E-B|=(λ^2-a+b)(λ^2-a-b)=(λ+√(a-b))(λ-√(a-b))(λ+√(a+b))(λ-√(a+b))
也即|λE-A|=(λ+√(a-b))(λ-√(a-b))(λ+√(a+b))(λ-√(a+b))
因此A特征值是√(a-b)，-√(a-b)，√(a+b)，-√(a+b)
注意，这里，假设了a>|b|>0，其余情况类似。