Question

设二维随机变量(X，Y)具有概率密度 f(x,y)=axe∧-x(y+1)，x>0,y>0,0,其他1求常数a2求f(x)

设二维随机变量(X，Y)具有概率密度 f(x,y)=axe∧-x(y+1)，x>0,y>0,
0,其他
1求常数a，2求f(x)，3求

Answer 1

(1)，∵∫(-∞,∞)∫(-∞,∞)f(x,y)dxdy=1，∴a∫(0,∞)∫(0,∞)xe^(-xy-x)dxdy=1。而，∫(0,∞)∫(0,∞)xe^(-xy-x)dxdy=∫(0,∞)e^(-x)dx∫(0,∞)e^(-xy)d(xy)=1。∴a=1。
(2)，fX(x)=∫(0,∞)xe^(-xy-x)dy=[e^(-x)]∫(0,∞)e^(-xy)d(xy)=e^(-x)。
(3)，fY丨X(y丨x)=f(x,y)/fX(x)=xe^(-xy)。
(4)，P(X≤Y)=∫(0,∞)e^(-x)dx∫(x,∞)xe^(-xy)dy=∫(0,∞)xe^(-x²)dx=1/2。
(5)，由(3)有，f[Y丨X=1](y丨x=1)=e^(-y)，P(Y≤1丨X=1)=∫(0,1)f[Y丨X=1](y丨x=1)e^(-y)dy=∫(0,1)e^(-y)dy=1-1/e。
供参考。