Question

设Z=ulnv,u=x+y,v=x-y,求偏导数ZxZy

设Z=ulnv,u=x+y,v=x-y,求偏导数ZxZy

Answer 1

设z=u*ulnv,u=y/x,v=x*x y*y

则有 Z=y/x*y/xlnx*xy*y

z=e^x+f(u,v)

∂z/∂x=e^x+∂f/∂u·∂u/∂x+∂f/∂v·∂v/∂x

∂z/∂y=∂f/∂u·∂u/∂y+∂f/∂v·∂v/∂y

z=e^x·f(u,v)

∂z/∂x=e^x·f(u,v)+e^x[∂f/∂u·∂u/∂x+∂f/∂v·∂v/∂x]

∂z/∂y=e^x[∂f/∂u·∂u/∂y+∂f/∂v·∂v/∂y]

x方向的偏导

设有二元函数 z=f(x,y) ，点(x0,y0)是其定义域D 内一点。把 y 固定在 y0而让 x 在 x0 有增量 △x ，相应地函数 z=f(x,y) 有增量（称为对 x 的偏增量）△z=f(x0+△x,y0)-f(x0,y0)。

如果 △z 与 △x 之比当 △x→0 时的极限存在，那么此极限值称为函数 z=f(x,y) 在 (x0,y0)处对 x 的偏导数，记作 f'x(x0,y0)或函数 z=f(x,y) 在(x0,y0)处对 x 的偏导数，实际上就是把 y 固定在 y0看成常数后，一元函数z=f(x,y0)在 x0处的导数。

Answer 2

解析如下：