Question

1/(x²+x+1)²的积分要怎么求呢？

1/(x²+x+1)²的积分要怎么求呢？划线的地方是怎么得到的？

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Answer 1

三角换元令x=(√3/2)tanu-1/2更简单

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能麻烦写一下过程吗？

追答

=∫1/(9/16)(secu)^4d(√3/2)tanu-1/2
=8√3/9∫cos²udu
=4√3/9∫1+cos2udu
=(2√3/9)(2u+sin2u)+C
=(4√3/9)(u+tanu/sec²u)+C

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抱歉有点没看懂 可以直接说解析里是什么思路吗？

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解析是分部积分法的变化应用，∫udv=uv-∫vdu

换元x=atanu是利用三角函数性质

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用分部积分法的话，1/2a²是怎么提出来的呢？我化成d[1/(u²+a²)]剩不下u/2a²

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…那说明你太粗心，注意复合函数求导法则
u/(u²+a²)=∫1/(u²+a²)du+∫ud1/(u²+a²)

追问

可以麻烦具体一点吗…

追答

把你算的截图出来吧，
我估计你百分之九十是复合函数求导不熟，d(1/(u²+a²)算不对

ud(1/(u²+a²))
=-u*2u/(u²+a²)²du
=-2(u²+a²-a²)/(u²+a²)²
=2a²/(u²+a²)-2/(u²+a²)du

Answer 2

并不是用分布积分得到的，分部积分只适用于六种情况（参考汤家凤）。
平方和需要用换元积分，这个式子积分表里（n=2 的情况）有，应该是通过换元推导出来，解析里面直接用这个公式：
令u＝a tant
→ du/（u²＋a²）²=（1/2a³）×([arctan（u/a）] ＋[au/（u²＋a²）])
→ du/（u²＋a²）²=（1/2a²）×([∫du/（u²＋a²）] ＋[a/（u²＋a²）])