Question

已知函数f(x)=lnx,g(x)= ax2+bx,a≠0.若b=2,且h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间,求a的取值范围

已知函数f(x)=lnx,g(x)= ax^2+bx,a≠0.若b=2,且h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间,求a的取值范围

请问答案内含"至少有一个正根"要怎样求解?

尽量详细.谢谢~~

Answer 1

1、解:(1)(-1,0)∪(0,+∞).

(2)设点P,Q的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)(0＜x1＜x2),则点M,N的横坐标为x=,

C1在点M处的切线斜率为k1==,

C2在点N处的切线斜率为k2=ax+b=+b,

假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行,

则k1=k2,即=+b,

则=(x22-x12)+b(x2-x1)=(x22+bx2)-(x12+bx1)=y2-y1=lnx2-lnx1,

所以ln=.

设t=,则lnt=(t＞1).①

令r(t)=lnt-,t＞1,则r′(t)=.

因为t＞1时,r′(t)＞0,所以r(t)在〔1,+∞)上单调递增,故r(t)＞r(1)=0.

则lnt＞,这与①矛盾,所以假设不成立.

故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.