Question

一道线性代数题，求解

求解

Answer 1

①.  平面π₁的法向矢量n₁={1，1，2}；  

平面π₂的法向矢量n₂={1，λ，1}；

平面π₃的法向矢量n₃={λ，1，1}；

由此可见：无论λ为何值，π₁与π₂，及π₁与π₃都不可能平行；因此要使三平面的相交于一

点，只需π₂与π₃不平行就可以了，为此，必须 1/λ≠λ/1≠1，即λ≠1；

当λ=1时，π₂与π₃重合为同一平面，此时三平面相交为一直线；

三平面不可能没有交点。

②. 当λ=1时三平面相交于一直线；此时π₂与π₃重合。

π₁：x+y+2z=1；π₂，π₃：x+y+z=2; 

任取z=-1，解得 x=1，y=2；即M(1, 2, -1)是其交线上的任意一点。

π₁的法向矢量：n₁={1，1，2}；π₂【π₃】的法向矢量：n₂={1，1，1};

设π₁与π₂【π₃】的交线的方向矢量s={m，n，p}；∵s⊥n₁，s⊥n₂；

∴s•n₁=m+n+2p=0；s•n₂=m+n+p=0; 由此解得【用克莱姆法则求解】：

即有m/(-1)=n/1=p/0；  故交线的一个方向向量s={-1，1，0}

∴交线方程为：(x-1)/(-1)=(y-2)/1=(z+1)/0；

Answer 2

系数矩阵秩为3，交于一点
增广矩阵秩为2，交于一直线
增广矩阵秩为1，没有交点(本题在此不成立)