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①. 平面π₁的法向矢量n₁={1,1,2};
平面π₂的法向矢量n₂={1,λ,1};
平面π₃的法向矢量n₃={λ,1,1};
由此可见:无论λ为何值,π₁与π₂,及π₁与π₃都不可能平行;因此要使三平面的相交于一
点,只需π₂与π₃不平行就可以了,为此,必须 1/λ≠λ/1≠1,即λ≠1;
当λ=1时,π₂与π₃重合为同一平面,此时三平面相交为一直线;
三平面不可能没有交点。
②. 当λ=1时三平面相交于一直线;此时π₂与π₃重合。
π₁:x+y+2z=1;π₂,π₃:x+y+z=2;
任取z=-1,解得 x=1,y=2;即M(1, 2, -1)是其交线上的任意一点。
π₁的法向矢量:n₁={1,1,2};π₂【π₃】的法向矢量:n₂={1,1,1};
设π₁与π₂【π₃】的交线的方向矢量s={m,n,p};∵s⊥n₁,s⊥n₂;
∴s•n₁=m+n+2p=0;s•n₂=m+n+p=0; 由此解得【用克莱姆法则求解】:
即有m/(-1)=n/1=p/0; 故交线的一个方向向量s={-1,1,0}
∴交线方程为:(x-1)/(-1)=(y-2)/1=(z+1)/0;
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