Question

在△ABC中，2/a＋1/b＝1，cos（A－B）＝（2sinAsinB）/sinC求△ABC周长

原题见下面的照片

Answer 1

cos（A－B）＝（2sinAsinB）/sinC=[cos(A-B)-cos(A+B)]/sinC=[cos(A-B)+cosC]/sinC,
设cos(A-B)=x,则cosC=x(sinC-1),
所以(sinC)^2+(cosC)^2=(sinC)^2+x^2(sinC-1)^2=1,
(1+x^2)(sinC)^2-2x^2sinC+x^2-1=0,sinC>0,
所以sinC=1,C=90°，[注]
所以a=csinA,b=ccosA
2/a+1/b=2/(csinA)+1/(ccosA)=1,
所以c=2/sinA+1/cosA
所以a+b+c=c(sinA+cosA+1)=(sinA+cosA+1)(2/sinA+1/cosA)
=3+sinA/cosA+2cosA/sinA+2/sinA+1/cosA,
设u=sinA/cosA>0,则y=a+b+c=3+u+2/u+2√(1+1/u^2)+√(u^2+1)
=3+u+2/u+(2/u+1)√(u^2+1),
y'=1-2/u^2-2/u^2*√(u^2+1)+(2+u)/√(u^2+1)=0,

(1-2/u^2)√(u^2+1)-2(u^2+1)/u^2+2+u=0,
(u^2-2)√(u^2+1)=2-u^3,
两边平方得(u^4-4u^2+4)(u^2+1)=u^6-4u^3+4,
整理得3u^4-4u^3=0,u=4/3,
此时y=3+4/3+3/2+(5/2)*5/3=10，为所求。
[注]由2/a+1/b=1得b=a/(a-2),c=√(a^2+b^2)=a√(a^2-4a+5)/(a-2),
所以y=a+b+c=a+[a/(a-2)][1+√(a^2-4a+5)],
y'=1-2/(a-2)^2*[1+√(a^2-4a+5)]+a/√(a^2-4a+5)=0,
两边都乘以√(a^2-4a+5),得[1-2/(a-2)^2]√(a^2-4a+5)-2(a^2-4a+5)/(a-2)^2+a=0,
去分母，化简得 (a^2-4a+2)√(a^2-4a+5)=-(a^3-6a^2+12a-10),
两边平方得(a^2-4a+2)^2*(a^2-4a+5)=(a^3-6a^2+12a-10)^2,
整理得3a^4-28a^3+96a^2-144a+80=0,
(3a-10)(a-2)^3=0,a>2,
解得a=10/3,
此时y=10,为所求。